ÁLGEBRA LINEAL PARA BALANCEO DE ECUACIONES QUÍMICAS

ÁLGEBRA LINEAL PARA BALANCEO DE ECUACIONES QUÍMICAS

    El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos como: vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, etc; tales conceptos matemáticos tienen una amplia gama de relación con otras ciencias, de manera que aplicándolos sirven como eficaces herramientas para solucionar problemas dentro y fuera de la matemáticas, inclusive en el diario vivir.

    En este apartado evidenciaremos la relación entre el álgebra lineal y la química, específicamente como los sistemas de ecuaciones lineales y matrices sirven de herramienta para el correcto balance de ecuaciones químicas. Pero primero es importante analizar la teoría matemática antes abordar la aplicación.

            Es importante introducir algunos conceptos:

            Sistema de ecuaciones lineales: Un conjunto de ecuaciones lineales de primer orden que pueden ser escritas de la forma: a1x1 + a2x2 + ....... + anxn = b y que se encuentran en un anillo conmutativo.

Ejm:

            Variables: Las variables son las incógnitas x1, x2, ...., xn  que se encuentran multiplicando a los coeficientes en los sistemas de ecuaciones lineales y son aquellas que se busca encontrar para dar solución al sistema de ecuaciones.

            Matriz: Un conjunto de elementos ordenados bidimensionalmente en filas y columnas. Para este caso en concreto, la matriz sirve para expresar los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales.

También se tiene la matriz aumentada que contiene los coeficientes del lado derecho de las ecuaciones.

Continuando con el ejemplo anterior:

            Matriz de coeficientes: 

            Matriz aumentada:

(Lay, D. 2012)

Procedimiento para hallar solución

   Para dar solución a un sistema de ecuaciones lineales es necesarios llevar la matriz a su forma escalonada reducida a través de operaciones fila, las cuales son las siguientes:

1. Cambiar entre sí dos filas: Se puede representar por Fi⟷Fj’ siendo Fi y Fj dos filas de la matriz. Ejm:

   

2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero: Se puede representar por Fi→tFi. Ejm:

   

3. Sumar una fila a otra multiplicada por un numero real: Fi→Fi +tFj. Ejm:

   

(Jarne, G. et al. S.f)

    De esta manera, empleando el método de Gauss-Jordan se procede a realizar operaciones fila y alcanzar la forma escalonada reducida para la matriza aumentada:

    Es entonces que se comienzan a hallar los pivotes de la matriz y las condiciones que verifica haberse alcanzado la forma escalonada reducida:

1. El primer coeficiente no nulo de cada fila es 1, y se llama el pivote de la fila.

2. El pivote de cada fila (a partir de la segunda) se encuentra estrictamente mas lejos (es decir, en una columna de indice estrictamente mayor) que el pivote de la fila anterior.

3. Puede tener abajo un cierto numero de filas nulas.

4. Una matriz escalonada se dice reducida si la columna arriba de cada pivote tambien es de ceros.

(UBA. 2004)

    Habiendo alcanzado este punto, ya se han encontrado los valores de las variables incógnitas:

Herramienta computacional (Matlab)

    Es posible ahorrar tiempo y resolver rápidamente estos problemas haciendo uso de un software matemático. En este caso se escogió Matlab y se realiza el mismo ejercicio, utilizando unos sencillos comandos.

    Ahora bien, un sistema de ecuaciones lineales puede tener:

1. Solución única: Cuando el sistema de ecuaciones lineales es consistente y se puede asignar un valor de los números reales a cada variable x de forma que estos valores verifiquen la igualdad para cada ecuación dentro del sistema de ecuaciones lineales.
   Esta es la interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con solución única, por ello, estas rectas se interceptan en un punto únicamente      
2. Infinitas soluciones: Cuando el sistema de ecuaciones lineales es consistente; sin embargo no se encuentran todos los valores de las variables incógnitas sino que se tiene una o más variables libres. Esto quiere decir que esta variable libre "xn" podrá tomar cualquier valor de los números reales, esto significando que la solución del sistema de ecuaciónes queda en función al valor que tome esta denominada variable libre.
   Esta es la interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con soluciones infinitas, por ello, estas rectas son idénticas y atraviesan los mismos puntos.
3. Ninguna solución: El sistema es inconsistente o se contradice, no tiene solución.
    Esta es la interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones sin solución. Como se puede apreciar las rectas no tienen puntos de intercepción, esto significando que no existen unos mismos valores x1 y x2 que satisfagan el sistema de ecuaciones.  

Balanceo de ecuaciones químicas con matrices

    Cuando se habla de química es de inevitable mencionar las reacciones químicas, las mismas que detallan los mols de compuestos reactivos, los mols de productos, cantidad de átomos y se indica la dirección en la que avanza la reacción con un flecha.

    Ahora bien, la estequiometría es la reacción es la ciencia que mide las proporciones cuantitativas y cualitativas de los elementos químicos; sin embargo, para que las relaciones estequiométricas estén correctas se debe realizar un balanceo de la reacción química para garantizar la conservación de la masa.

    Un ejemplo sencillo es la reacción entre bicarbonato de sodio y ácido acético. En esta reacción se genera dióxido de carbono, agua y acetato de sodio.

NaHCO3(s) + CH3COOH(l) –> CO2(g) + H2O(l) + NaCH3COO(aq)

    Si nos detenemos a contar átomo por átomo, a pesar de que han ocurrido transformaciones y se han generado otros compuestos que no estaban incialmente, la cantidad de átomos de cada elemento es la misma tanto en el lado izquierdo (reactivos), como en el lado derecho (productos). Esta es una situación ideal; sin embargo, en la práctica siempre es necesario realizar un balanceo para asegurar futuros cálculos correctos.

    Afortunadamente, el balanceo de ecuaciones químicas se sirve de sistemas de ecuaciones lineales, las mismas que facilitan el proceso volviéndolo ordenado y proveyendo un mecanismo de resolución.

    Analizaremos la siguiente ecuación química:

NH3 + O2 –> N2 + H2O

    Al igual que en las ecuaciones lineales, cada término cuenta con su coeficiente:

wNH3 + xO2 –> yN2 + zH2O

   Dado que es un balanceo por especies, se separa en tres ecuaciones por especies

 w  = 2y

3w = 2z

2x  = z

    Como se puede ver en el lado izquierdo, en la primera molécula hay un átomo de N, en tanto que en el lado derecho, la primera molécula tiene dos átomos de N; en la primera molécula del lado izquierdo hay 3 átomo de hidrógeno y en la segundo molécula del lado derecho hay dos átomo de hidrógeno; en la segunda molécula del lado izquierdo hay dos átomo de oxígeno y en la segunda molécula del lado derecho hay un átomo de hidrógeno. Esto resulta en la siguiente matriz:

y la matriz aumentada:

   

los espacios en blanco, se llenan con ceros:

como se vio en la teoría se procede a encontrar la forma escalonada reducida realizando operaciones filas o haciendo uso de un software matemático:

Se puede expresar también en forma de sistema de ecuaciones:

Se tiene que z es una variable libre, y esta solución significaría que el sistema tiene infinitas soluciones; sin embargo, en química se preocura trabajar con coeficientes estequiométricos (w, x, y, z) enteros se procede a encontrar el mínimo común denominador de las tres fracciones halladas y atribuir este valor a z. En este caso se encuentra que el M.C.D es "6". Por lo tanto los coeficientes w, x, y resultan en los siguientes valores:

Donde como resultado, la siguiente ecuación de reacción correctamente balanceada:

4NH3 + 3O2 –> 2N2 + 6H2O

Entonces se encuentra que en el lado izquierdo hay un total de 4 átomos de nitrógeno, 12 de hidrógeno y 6 de oxígeno; en tanto que, en el lado izquiero 4 de nitrógeno, 12 de hidrógeno y 6 de oxígeno. De esta manera se cumple el principio de conservación de masa.

Bibliografía:

       Lay, D. (2012). Linear algebra and its applications. 4ta Edition. Pearson Education.

    Jarne, G. et al. (S.f). Curso básico de matemáticas para estudiantes de economía y empresariales. Proyecto de innovación Aragón Tres.

      Universidad de Buenos Aires. (2004). Álgebra lineal. Compendio de curso de verano. Argentina.